☛ *** Utiliser un tableau de variations pour comparer et encadrer

Énoncé
On considère une fonction `g`. On dispose de son tableau de variations :

1. Comparer `g(-3,5)` et `g(-3,9)`.
2. Comparer `g(0,5)` et `g(1)`.
3. Déterminer un encadrement de `g(-1)`.
4. Déterminer un encadrement de `g(1)`.
5. Pourquoi ne peut-on pas comparer `g(-1)` et `g(1)` ?

Solution
1. Les nombres `-3,9` et `-3,5` appartiennent tous les deux à l'intervalle `[-4;-3]` sur lequel la fonction `g` est décroissante. Comme `-3,9<-3,5`, on obtient `g(-3,9)\geqg(-3,5)`.
2. Les nombres `0,5` et `1` appartiennent tous les deux à l'intervalle `[0;2]` sur lequel la fonction `g` est croissante. Comme `0,5<1`, on obtient `g(0,5)\leqg(1)`.
3. `-1\in[-2;0]`. Le maximum de `g` sur cet intervalle est `0` et son minimum sur cet intervalle est `-4` donc `-4\leqg(-1)\leq0`.
4. Par le même raisonnement que dans la question précédente, on obtient `-4\leqg(1)\leq 4`.
5. `-1\in[-2;0]` et `1\in[0;2]`. Or, la fonction `g` n'est pas monotone sur `[-2;2]`. On ne peut donc pas comparer `g(-1)` et `g(1)`.